罗素悖论

集合可以分为两类:第一类集合的特征是:集合本身又是集合中的元素,例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”;第二类集合的特征是:集合本身不是集合的元素,例如直线上点的集合。后者包含大多数我们熟悉的普通集合,并且相当大。显然,一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么,R是哪一类的集合呢?即R ∈ R ?

如果R是第一类的,R是自己的元素,但由定义,R只由第二类集合组成,于是R又是第二类集合;如果R是第二类集合,那么,由R的定义,R必须是R的元素,从而R又是第一类集合。总之,左右为难,无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论:理发师悖论某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发,不给所有自己理发的人理发”,现在的问题是“谁为该理发师理发?”。首先,若理发师给自己理发,那他就是一个“自己理发的人”,依其誓言“他不给自己理发”;其次,若“他不给自己理发”,依其誓言,他就必须“给自己理发”。

内涵公理 设P是一个性质,则\exists A \ \forall x \ (x\in A \leftrightarrow P(x)\wedge Set(x))

内涵公理的含义是:满足一定性质的所有集合可以组成一个类。

注:最初的内涵公理是这样的:设P是一个性质,则\exists A \ \forall x \ (x\in A \leftrightarrow P(x))。但这样将导致罗素悖论。

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